本讲主要以含参一次函数及综合题为主来讲解、练习：

例1

如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．

分析：

首先，给出点C的坐标(m，－4m＋20)，你能想到什么?

由于纵坐标具有一次函数解析式的特征，则不难想到点C在直线y＝－4x＋20上．

而四边形OACB四个字母的顺序已定，因此本题只有一解．

接下来，我们继续考虑，什么线有平分面积的作用？

三角形的中线．

连接AB，OC必然同时平分△OAB和△CAB的面积，则OC必经过AB的中点，设中点为D，求出直线OD的解析式，其与直线y＝－4x＋20的交点即为点C．

解答：

例2

如图1，直线l交x轴、y轴分别于A、B两点，A(a，0)，B(0，b)，且(a－b)2＋

b－4

＝0．

(1)求A、B两点坐标；

(2)如图2，C为线段AB上一点，且C点的横坐标是3．求△AOC的面积；

(3)如图2，在(2)的条件下，以OC为直角边作等腰直角△POC，请求出P点坐标；

(4)如图3，在(2)的条件下，过B点作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

分析：

(1)典型的0＋0型．

(2)由点A，点B的坐标，求出直线AB的解析式，根据点C的横坐标，求出点C的坐标，最后利用三角形的面积公式即可得解．

(3)见等腰直角三角形，你想到了什么模型？

一线三直角！因此过点P，点C作x轴的垂线段，构造全等，从而求出点P坐标．

(4)哪怕不会做，你先写什么？

OD＝AE．

接下来怎么证呢？

显然，考虑证明三角形全等，但是并没有现成的三角形可证，必然要添辅助线．

给出的两个条件，BD⊥OC，∠CEA＝∠BDO怎么用？

别忘了，其实由第(1)问可知，BO＝OA，而最终证明OD＝AE，则△BOD是关键三角形．

要证其他三角形与它全等，则需要构造，根据BO＝OA，则需要过点A构造直角．

解答：

(3)过点C作CD⊥x轴于D，过P作PE⊥x轴于E，

易证△POE≌△OCD

PE＝OD＝3，EO＝DC＝1

P(－1，3)

(4)过A作AG⊥x轴于A，交OC延长线于G

易证△BOD≌△OAG(ASA)

∴∠BDO＝∠G，OD＝AG．∵∠CEA＝∠BDO，∴∠CEA＝∠G．∵∠BAO＝45°，∠GAO＝90°，∴∠CAG＝45°．

例3

如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，直线y＝x与直线MN交于点P，已知AC＝10，OA＝8．

(1)求P点坐标；

(2)作∠AOP的平分线OQ交直线MN与点Q，点E、F分别为射线OQ、OA上的动点，连结AE与EF，试探索AE＋EF是否存在最小值？若存在，请直接写出这个最小值；若不存在请说明理由；

(3)在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出点G的坐标．

分析：

(1)求出OC的长，确定出C坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与y＝x联立方程组，即可求出交点P坐标．(2)作出相应的图形，典型的将军饮马问题，作对称，利用垂线段最短．(3)典型的两圆一线问题，分三种情况考虑．

解答：

精选练习(答案详见下期)

含参一次函数

1．已知平面上点O(0，0)，A(3，2)，B(4，0)，直线y＝mx－3m＋2将△OAB分成面积相等的两部分，求m的值．

2．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A(0，0)，C(10，4)，直线y＝ax－2a－1将其分成面积相等的两部分，求a的值．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．

4．已知点M(m，－2m)，N(m＋3，－2m－4），当四边形MNBA周长最小时，

则m＝____________．

综合题

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